O życiu miłosnym królików i … co ma do tego matematyka

Przeszło 800 lat temu w słonecznej Toskanii niejaki Leonardo zamieszkujący Pizę wydaje swoją pracę pod tytułem Liber Abaci. Jeszcze nie wie, że za kilkaset lat w dalszym ciągu będziemy korzystać z nowego wówczas sposobu zapisu liczb oraz pewnego ciągu liczbowego, który pojawia się w treści pracy. Poznaj nieoczywisty związek między średniowieczem, królikami a giełdą.

Cyfry arabskie

Fibonacci, bo pod takim pseudonimem znamy obecnie Leonarda z Pizy, jak na ówczesne standardy podróżował dużo. Młody Fibonacci zwiedził Afrykę Północną, Egipt, Grecję i Sycylię, a pamiętamy, że jesteśmy na przełomie XII i XIII wieku. Podczas podróży zainteresował się matematyką i miał okazję poznać nieznane szerzej w Europie osiągnięcia arabskich i hinduskim matematyków. Jednym z nich był pozycyjny system zapisu liczb.

Po powrocie do rodzinnych stron Leonardo rozpoczął pracę nad spisaniem nowych dla siebie zagadnień. W pracy p.t. “Liber abaci” Fibonacci opisał dziesiętny system liczbowy i cyfry arabskie oraz umieścił kilkanaście matematycznych problemów. Poniżej próbka:

“Bliski śmierci człowiek wezwał swych synów i powiedział do najstarszego: Weź jednego denara z mego majątku i siódmą część tego, co zostanie. Do drugiego powiedział Weź dwa denary i siódmą część tego, co zostanie. Do trzeciego: Weź trzy denary i siódmą część tego, co pozostanie. Każdemu synowi zapisywał więc jednego denara więcej od poprzedniego i siódmą część reszty. Po podziale majątku okazało się, że każdy z synów dostał tyle samo. Ilu było synów i jak duży był spadek?”

Życie miłosne królików

Spośród wszystkich umieszczonych w “Liber abaci” zagadek jedna zyskała szczególną sławę. Chodzi o prostą w sformułowaniu zagadkę dotyczącą królików i ich życia miłosnego. A oto i ona:

Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli
– każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca,
– para staje się płodną po miesiącu,
– króliki nie zdychają?

Fibonacci rozwiązał tę zagadkę wyliczając skrupulatnie liczbę królików, która będzie w stadzie na koniec kolejnych miesięcy. Poniżej liczby do których doszedł nasz bohater

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,…

Wyglądają znajomo? Fakt – to początkowe wyrazy ciągu nazywanego ciągiem Fibonacciego. Ogólnie zdefiniowany został w następujący sposób:

F_{1} = 0
F_{2} = 1
F_{n} = F_{n-2} + F_{n-1} dla każdego naturalnego n >2.

Patrząc wprost na definicję widzimy, że dowolny wyraz powyższego ciągu (poza dwoma pierwszymi wyrazami) jest sumą dwóch poprzednich wyrazów.

Ten niepozornie wyglądający ciąg ma bardzo ciekawe własności i znajduje szerokie zastosowanie w życiu codziennym. O mniej znanych ale szalenie ciekawych własnościach ciągu opowiem w osobnym wpisie bo jest to temat rzeka, który warto omówić w szczegółach. A jeśli chodzi o zastosowania matematyki poza szkolną klasą to jest to co lubię najbardziej.

Punktem wyjścia do definicji ciągu Fibonacciego były króliki i ich rozmnażanie. To jedno z życiowych zastosowań. Ale w dzisiejszym artykule pokażę jeszcze dwa kolejne – może mniej znane.

A poniżej na zakończenie wątku – mała próbka ilustracji zadania o królikach.

Idealna spirala

Jak za chwilę zobaczysz ciąg Fibonacciego odnajduje więcej zastosowań w przyrodzie i to w miejscach, w których takich zastosowań mało kto oczekuje. Z pewnością będąc nad morzem lub nawet na łące spotkałeś ślimaka noszącego swój dom na plecach. Czy to winniczek czy ślimak morski nie jest teraz aż tak istotne, jak fakt, że oba z nich mają spiralną muszlę. Jeżeli chcesz w prosty sposób narysować domek ślimaka to również tym razem z pomocą przychodzi ciąg Fibonacciego. Jeśli znasz kolejne jego wyrazy, masz kawałek kartki i ołówek, to z łatwością poradzisz sobie z zadaniem naszkicowania idealnej spirali. Poniżej szybka instrukcja – polecam zrobienia tego ćwiczenia na spokojnie w domu w ramach odstresowania po ciężkim dniu.

Oprócz wspomnianych wcześniej królików i idealnej muszli ślimaka, liczby będące elementami ciągu Fibonacciego spotkamy w przyrodzie:

  • licząc liście na poszczególnych poziomach u roślin;
  • przyglądając się ułożeniu pestek słonecznika;
  • obserwując spirale w kalafiorze romanesco – polecam zobaczyć jak wygląda to warzywo będące krzyżówką brokuła i kalafiora;
  • badając układ zwojów w szyszce sosny;
  • a nawet patrząc na swoje ręce (2 dłonie – każda ma 5 palców – każdy ma 3 części :)).

Fibonacci na giełdzie

Z zagadnień przyrodniczych przenosimy się teraz na rynki finansowe. Może to zaskakujące ale tam przeciętny trader handlujący akcjami, walutami, instrumentami pochodnymi czy surowcami również zna Fibonacciego. Jego pierwszym skojarzeniem z tym nazwiskiem nie jest jednak matematyka, króliki czy idealna spirala. Osoby zajmujące się rynkami finansowymi stosują ciąg Fibonacciego w zupełnie innym celu i w zupełnie inny sposób.

Każdy, kto kiedykolwiek próbował swoich sił grając na Forexie lub nawet na zwykłej giełdzie akcji słyszał pewnie o analizie technicznej. Analiza techniczna to metoda przewidywania przyszłych cen instrumentów finansowych korzystając między innymi z wykresu dotychczasowych cen. Innymi słowy analiza techniczna patrzy na ceny historyczne i na ich podstawie prognozuje cenę w przyszłości.

Istnieje wiele metod pomagających w takim przewidywaniu przyszłości:

  • formacje;
  • linie trendu;
  • poziomy wsparcia i oporu;
  • średnie kroczące;
  • oscylatory;
  • wstęgi Bollingera.

Ponadto analitycy techniczni próbują wykorzystać ciekawą własność ciągu Fibonacciego. Oto ona:

Stosunek kolejnych elementów ciągu Fibonacciego dąży asymptotycznie do “złotej liczby”.

Wyjaśnijny na początek czym jest “złota liczba”. Załóżmy, że na kartce narysowaliśmy odcinek. Chcemy go podzielić na dwie części.

Złota liczba to stosunek długości dłuższej z części odcinka do krótszej części, jeżeli jest on taki sam jak stosunek długości całego odcinka do jego dłuższej części.

Poniżej ilustracja, która dobrze pokaże w czym rzecz:

Odwiedź stronę https://www.nlogo.pl/wiedza/czym-jest-zloty-podzial

Złota liczba to stała niezależna od długości dzielonego odcinka równa w przybliżeniu \Phi = 1,618034.

Analizując ilorazy kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego dochodzimy do wniosku, że dla dużych liczb naturalnych n zachodzi związek:

\frac{F_{n+1}}{F_{n}} \approx \Phi.

Podstawowe działania na złotej liczbie pokazują między innymi, że:

\frac{1}{\Phi} \approx 0,618

\frac{1}{\Phi^{2}} \approx 0,382

\frac{1}{\Phi^{3}} \approx 0,236

Traderzy używają najczęściej liczb 0,236; 0,382; 0,5; 0,618; 1; 1,382; 1,618 do oszacowania zasięgu korekty lub trendu wzrostowego na danym aktywie. Twierdzą oni na przykład, że jeżeli cena jakiejś akcji spada, to 23,6% spadku od szczytu to dobry moment na zatrzymanie spadku i korektę ceny. Na jednej ze stron poświęconych takiej tematyce znalazłem taki cytat:

“Na tej podstawie można wyznaczać z dużym prawdopodobieństwem momenty, w których cena zmieni swój obecny kierunek i zacznie przemieszczać się w przeciwną stronę. “

Ja osobiście nie jestem fanem takiego podejścia do inwestowania swoich pieniędzy. Wolę inwestowanie oparte na fundamentach firmy. Z drugiej strony jeśli komuś taki system się sprawdza, to oczywiście gratuluję. Bo jak to mówią “prawdą jest to co działa“.

Na zakończenie

Dzisiejszy wpis udowodnił, że w naszym codziennym życiu jest dużo więcej matematyki, niż mogłoby się to nam wydawać. Króliki, liście, spirale i giełda – matematyka w osobie Fibonacciego jest wszędzie tam.

Temat ciągu Fibonacciego jest tak ciekawy, że postanowiłem poświęcić mu nieco więcej czasu. Niebawem chciałbym napisać artykuły na temat nieznanych szerzej własności ciągu Fibonacciego oraz o działaniach na złotej liczbie \Phi.

Tymczasem już teraz zapraszam do zapisania się na moją listę mailową.

Zawsze aktualne informacje o nowych wpisach, wiadomości z ciekawymi linkami oraz od czasu do czasu coś EKSTRA. A Ty jesteś już na mojej liście?

Jeśli nie – prośba o zapisanie się – możesz skorzystać z formularza umieszczonego poniżej.

Linki dla ciekawych

Poniżej znajdziesz garść linków do tematów, o których wspominałem w dzisiejszym artykule.

1. == Notka z Wikipedii o Fibonaccim ==

2. == Ciąg Fibonacciego w przyrodzie ==

3. == Rysowanie idealnej spirali w oparciu o ciąg Fibonacciego ==

4. == Ciąg Fibonacciego i wykorzystanie do gry na giełdach ==

Polub nas na:
error

2 komentarze

  1. Fajny artykuł. Nie znałem historii o wymyśleniu ciągu Fibonacciego. Fajnie że ją tutaj przybliżyłeś. Inwestowanie na giełdzie wydaje mi się mega skomplikowanym działaniem ale jeśli da się do tego posłużyć matematyką żeby zarabiać na tym to jest fajnie.

    W filmie “Limitless” był motyw inwestowania na giełdzie przy pomocy obliczeń matematycznych – algorytmu do inwestowania.

    Ciekaw jestem do czego jeszcze ciąg Fibonacciego posłuży nam ludziom. Czy umożliwi nam podróże między-gwiezdne, heh :-). Tak sobie fantazjuje.

    Btw. o implementacji ciągu Fibonacciego, w języku Python, pisałem ostatnio na swoim blogu:

    http://mstem.net/pl/python-matma/

    Pozdrawiam

    1. Author

      Mateusz dzięki 🙂 Co do przyszłych zastosowań ciągu Fibonacciego to jestem pewien, że się znajdą. Przecież sam Fibonacci nie śnił nawet o obecnej technice która czerpie z jego prac.
      Jeśli chodzi o inwestowanie algorytmiczne i automatyczne to jest ono stosowane przez duże fundusze do wyłapywania okazji cenowych. Ale są także drobni gracze którzy kupują i sprzedają akcje jedynie na podstawie wskazań algorytmów bez patrzenia na przykład na podstawy fundamentalne danej spółki.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *