Jak podwajać oszczędności z logarytmem

Matematyka to dziedzina wiedzy oparta w dużym stopniu na pojęciach abstrakcyjnych. Każde zagadnienie ma swoją teorię, pojęcia, twierdzenia i własności. Głównym problemem w nauce matematyki jest to, że uczniowie nie poznają zastosowań pojęć matematycznych w życiu. Na tym blogu będzie inaczej – na pierwszy ogień idą logarytmy.

Witajcie moi drodzy!
Tak jak napisałem we wstępie dzisiejszy wpis inauguruje temat zastosowań matematyki w życiu codziennym. Uczniowie często pytają po co mam uczyć się tego czy tamtego pojęcia skoro i tak mi się to nie przyda. Szczerze mówiąc rozumiem ich w zupełności. Stąd postanowiłem obalić mit, że matematyka to czysta abstrakcja i opowiedzieć nieco o tym gdzie spotkamy pojęcia i teorie matematyczne działające w życiu codziennym.

Zanim zaczniemy, zachęcam do zapisu na moją listę mailową. Regularnie otrzymasz maila z ciekawymi zagadnieniami, a co jakiś czas dla subskrybentów będzie coś ekstra. Nic nie tracisz – możesz tylko zyskać 🙂

Logarytmy – zastosowanie i trochę historii

Możesz wierzyć lub nie, ale logarytmy są używane w codziennym życiu. Jeszcze nas dziadkowie używali własności logarytmów do mnożenia dużych liczb – oczywiście chodzi tu o fakt, że suma logarytmów jest logarytmem iloczynu. Na tej zasadzie działało również narzędzie zwane suwakiem logarytmicznym – do lat 80-tych XX wieku powszechnie używane przez inżynierów. Jego działanie to bardzo ciekawa sprawa – myślę, że kiedyś warto będzie napisać na ten temat jakiś wpis.

Do dzisiaj logarytmy mają zastosowanie w innych bardziej skomplikowanych teoriach matematycznych oraz pewnych modelach biologicznych i przyrodniczych.

OK, po tej krótkiej podróży historycznej pora na coś naprawdę interesującego z punktu widzenia przyszłego finansisty. Tematem tego wpisu będzie bardzo prosty sposób na obliczenie czasu potrzebnego do podwojenia swojej inwestycji lub oszczędności.

Kapitalizacja odsetek – szybki kurs

Każdy z nas powinien oszczędzać. Powodów jest oczywiście kilka. Po pierwsze warto mieć nieco zabezpieczenia na czarną godzinę. Nigdy nie wiesz przecież kiedy będziesz potrzebować dodatkowej gotówki na nieplanowane wydatki. Po drugie oszczędzanie uczy dyscypliny. Jeżeli jesteś w stanie zmotywować się i przypilnować tak, żeby nie wydawać wszystkich swoich pieniędzy, to jest to dobry trening charakteru i pouczająca lekcja. Po trzecie osoby z oszczędnościami mogą być bardziej niezależne. Skoro masz pewne zabezpieczenie, to możesz niektóre propozycje odrzucać, możesz realizować niektóre plany i finansować spełnianie marzeń. Po czwarte, nie pożyczasz pieniędzy na przykład od banku, gdy okazuje się, że musisz finansować nieoczekiwany wydatek.

Decydując się na oszczędzanie choćby najmniejszych nadwyżek finansowych, staniesz przed pewnym dylematem. Zapytasz w co inwestować i jaki mi to przyniesie zysk. Jeśli chodzi o to w co inwestować, to jest to temat dość obszerny, który pochłonąłby kilkanaście wpisów. Myślę, że kiedyś jeszcze wrócę do tego tematu. A dzisiaj omówię pokrótce sposób na szybkie obliczenie czasu do podwojenia pierwotnej kwoty.

Zainwestowane w banku pieniądze po pewnym czasie są warte więcej. W zamian za możliwość dostępu do Twoich pieniędzy oraz ich obrót, bank w którym założyłeś lokatę wypłaca Ci Twoją należność w formie odsetek.

Oznaczmy przez PV początkową kwotę inwestycji, a przez FV – jej wartość końcową. Wówczas wzór na końcową wartość inwestycji przedstawia się następująco:

FV = PV \cdot (1+r)^n

gdzie n oznacza liczbę lat inwestycji oraz r to roczna stopa odsetek od pożyczonej Banku kwoty PV.

Oczywiście wzór zadziała także jeżeli jako n przyjmiemy liczbę, która nie jest całkowita. Przykładowo odkładając pieniądze na lokatę trzymiesięczną przyjmiemy n = 1/4 (ponieważ trzy miesiące to ¼ całego roku).

Znając początkową kwotę inwestycji oraz oprocentowanie możemy zatem łatwo obliczyć ile pieniędzy znajdzie się na naszym koncie za kilka miesięcy/lat. A co stanie się jeżeli będziemy chcieli odwrócić sytuację i dowiedzieć się ile lat zajmie nam podwojenie początkowej kwoty zainwestowanej przy ustalonym oprocentowaniu?

Sposób ten jest powszechnie wykorzystywany wśród inwestorów, którzy zamiast porównywać produkty finansowe pod kątem ich oprocentowania, patrzą na czas podwojenia kapitału.

Aby ułatwić zapamiętanie ile czasu potrzeba na podwojenie kapitału przy określonym oprocentowaniu, została wymyślona ZASADA 72. W dużym skrócie przepis na wynik jest następujący: sprawdź oprocentowanie swojej inwestycji, podziel liczbę 72 przez oprocentowanie. Wynikiem jest liczba lat potrzebna do podwojenia początkowego kapitału. Sprawdźmy to na przykładach.

Weźmy lokatę z oprocentowaniem 4% w skali roku. Zakładamy, że nie jest ona terminowa i założyć ją możemy na dowolnie długi czas. Podwojenie kapitału uzyskamy za 72/4 = 18 lat.

Czy taki sam wynik otrzymamy korzystając z powyższego wzoru?

PV = 100
n=18
r=4%

Podstawiamy aby otrzymać:
FV = PV \cdot ( 1+r )^{n} = 100 \cdot \left( 1+4\% \right)^{18} = 100 \cdot 2,025817 = 202,58

W przybliżeniu podwoiliśmy kapitał w 18 lat – formuła działa.

Zachęcam aby samodzielnie przeprowadzić podobne ćwiczenie dla różnych wartości oprocentowania.

Zasada 72 – dlaczego działa?

OK – formuła działa, ale dlaczego działa? Wszystko dzięki odpowiedniemu przekształceniu wzoru z wcześniejszej części posta i pewnej obserwacji dotyczącej logarytmów.

Nie wierzmy na słowo – zobaczmy to:

Chcemy aby zachodziła zależność
FV = \left( 1+r \right)^{n} = 2 \cdot PV

Będziemy szukać liczby lat n, która spełni powyższe równanie. Dzielimy obustronnie przez PV. Do której potęgi trzeba podnieść \left(1+r \right), żeby otrzymać 2?

n = log_{1+r}2

Stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu (ogólnie rzecz biorąc \log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a} ) otrzymujemy:

n = \frac{\ln 2}{\ln \left( 1+r \right)}

Oczywiście \ln 2 to liczba. Możemy przybliżyć jej wartość za pomocą ułamka dziesiętnego 0,693147.

Dodatkowo dla małych wartości r zachodzi ciekawa zależność: \ln \left( 1+r \right) \approx r. Widać to poniżej dla wartości r od 0 do 0,1.

r ln(1+r)
0,0000 0,0000
0,0050 0,0050
0,0100 0,0100
0,0150 0,0149
0,0200 0,0198
0,0250 0,0247
0,0300 0,0296
0,0350 0,0344
0,0400 0,0392
0,0450 0,0440
0,0500 0,0488
0,0550 0,0535
0,0600 0,0583
0,0650 0,0630
0,0700 0,0677
0,0750 0,0723
0,0800 0,0770
0,0850 0,0816
0,0900 0,0862
0,0950 0,0908
0,1000 0,0953

Wobec tego bez dużego przekłamania możemy stwierdzić, że podwajamy zainwestowany kapitał po n = 69/r latach.

Zasada 72 a może Zasada 69?

Jak widać powyżej tak naprawdę aby być bardziej precyzyjni Zasadę 72 powinniśmy nazywać Zasadą 69. Skąd zatem tak rozpowszechniona nazwa z liczbą 72? Nie ma co doszukiwać się tutaj jakichś teorii spisowych – tym razem zaważyły względy praktyczne. Okazuje się że liczba 72 posiada więcej naturalnych dzielników niż liczba 69.

Dzielniki liczby 69 to: 1, 3, 23 oraz samo 69.
Dzielnikami liczby 72 są natomiast: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 oraz 72.

Ta mnogość dzielników, a więc możliwych do podstawienia we wzorze wartości oprocentowania oraz bardzo podobne wyniki jak w przypadku liczby 69 sprawiło, że używamy liczby 72 do szacowania czasu podwojenia oszczędności.

Jak widać zastosowania matematyki nie wymagają aptekarskiej dokładności tam, gdzie przybliżenie jest wystarczająco dobre.

Przydatne linki

  1. == Wikipedia o suwaku logarytmicznym ==
  2. == Artykuł na blogu Sławka Śniegockiego o podwajaniu oszczędności ==

Na zakończenie…

To już wszystko co przygotowałem dla Was na dzisiaj. Mam nadzieję, że temat wykorzystania logarytmów spodobał się Wam tak samo jak mi. Zobaczyliście również, że matematyka to nie tylko suche wzory i symbole. Matematyka otacza nas na co dzień nawet tam, gdzie byśmy się jej nie spodziewali.

Już na sam koniec mam do Ciebie prośbę – napisz co sądzisz o dzisiejszym wpisie w komentarzu. Jeśli chciałbyś zapisać się na moją listę mailową to będę Ci niezmiernie wdzięczny. Możesz to zrobić za pomocą poniższego formularza:

W razie jakichkolwiek pytań – pisz na krzysiek@prostamatematyka.pl – odpowiadam na wszystkie maile.

Do zobaczenia!!!

Polub nas na:
error

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *