Najdziwniejsza rzecz, jaką udowodniono matematycznie

Każdy z nas miał kiedyś okazję uczestniczyć w nudnej lekcji lub mało ekscytującym spotkaniu. Myśli odpływają wtedy bardzo daleko i w głowie potrafi zrodzić się niejedno ciekawe pytanie. Na przykład patrząc na kartkę papieru przed sobą możesz zastanawiać się ile razy można ją złożyć “na pół”. Ten błahy wbrew pozorom problem ma oczywiście swoje matematyczne rozwiązanie, o którym dowiesz się z artykułu.

Z dzisiejszego wpisu dowiesz się kilku moim zdaniem naprawdę interesujących rzeczy. Między innymi poznasz wzór na maksymalną liczbę zgięć kawałka papieru, zobaczysz dlaczego jest taka mała oraz dowiesz się jak zmierzyć grubość… papieru toaletowego. Zapowiada się ekscytująco – prawda 🙂 ?

Jeśli chcesz dołączyć do grona osób, które co jakiś czas otrzymują ode mnie ciekawe materiały na maila – zapisz się w poniższym polu:

Kartkę papieru złożysz tylko 7 razy…

Na początku mała prośba do Ciebie. Weź do ręki zwykłą kartkę papieru. A teraz postaraj się składać ją na pół tyle razy ile tylko zdołasz. Jak Ci poszło? 🙂

Jeśli masz dobrze opanowane zdolności manualne i odrobinę cierpliwości to osiągniesz 5-6 zgięć. Jak dowiesz się z dalszej części artykułu nie masz możliwości zgięcia kartki więcej niż 7 razy. Możesz nie wierzyć mi na słowo ale potwierdza to matematyka, a jak wiadomo z nią się nie dyskutuje.

Nasuwa się oczywiste pytanie dlaczego tak jest. Wcześniejszy eksperyment pokazał, że wystarczy złożyć kartkę kilka razy a stanie się ona twardym bloczkiem, z którym niewiele można zrobić. Namaczanie papieru też na niewiele się zda – 7 to magiczna liczba, której nie można przeskoczyć. Tak sądzono przez długi, długi czas. No chyba, że można?

… chyba, że jesteś matematykiem

W tym momencie to gry wkracza królowa nauk. Dopiero kilkanaście lat temu amerykańska studentka Britney Gallivan pokazała, że papier można składać więcej niż 7 razy. W 2002 roku pobiła Rekord Guinnessa osiągając oszałamiający wynik 12 zgięć. Poniżej zdjęcie Britney z rezultatem jej starań.

Co ciekawe studentka podeszła do sprawy bardzo profesjonalnie. Przed przystąpieniem do próby bicia rekordu postanowiła zadbać o teoretyczne matematyczne podstawy. Britney udało się wyprowadzić wzór opisujący proces składania papieru.

L = \frac{\Pi t}{6} \left( 2^{n} +4\right) \left( 2^{n} - 1 \right)

We wzorze występuje kilka symboli, które wymagają wyjaśnienia:
L – oznacza długość papieru,
t – opisuje grubość papieru,
n – odpowiada za liczbę złożeń papieru.

Możemy ten wzór interpretować w ten sposób, że opisuje on minimalną długość L papieru o grubości t, która potrzebna jest do złożenia papieru n razy.

Patrząc na wzór widzimy od razu, że im cieńszy papier tym mniej go potrzeba, aby wykonać określoną liczbę złożeń. Jest to w sumie zgodne z intuicją – łatwiej zginać przedmioty cieńsze niż grubsze. Stąd do celów ćwiczeniowych najlepiej wykorzystać papier toaletowy jako najcieńszy z rodziny papierów. Tą drogą poszła również Britney bijąc rekord Guinnessa. Użyła ponad kilometrowej rolki papieru toaletowego.

Cienki jak… papier toaletowy

Ciężko jest poznać grubość papieru. Nie uda się tego zrobić za pomocą linijki – tutaj ważna jest precyzja, a we wzorze jest różnica pomiędzy 0,5 mm a 1 mm.

Oczywiście i na ten problem znajdziemy matematyczne rozwiązanie. Znalazłem dokładny opis jak to zrobić na jednej z amerykańskich stron – linkuję poniżej pod wpisem, a teraz naszkicuję ten temat.

Po pierwsze potrzebujemy papieru nawiniętego na rolkę – więc papier toaletowy już w tym miejscu pokazuje, że jest idealnym wyborem 🙂

Mierzymy promień rolki (literka r na obrazku) oraz odległość pomiędzy tekturową rolką, a brzegiem papieru (oznaczenie d).

Gdy rozwiniemy całość papieru i zmierzymy jego długość L to też będzie to dla nas niewątpliwie cenna informacja.

Bez wnikania w szczegóły dotyczące wyprowadzenia wzorów otrzymujemy zależność:

L\cdot t = \Pi (d+r)^2 - \Pi r^2

Stąd możemy obliczyć grubość papieru t. Nie musicie robić tego w domu – Amerykanie przeprowadzili już odpowiednie przeliczenia za Was. Okazuje się, że papier toaletowy ma grubość 0,45 mm, czyli 0,00045 m.

Kilometry papieru

Wracając z tą informacją naszego równania z początku artykułu możemy dowiedzieć się jak długiej rolki papieru toaletowego potrzeba nam, aby pobić rekord ustanowiony przez Britney Gallivan.

Aby zgiąć papier 13 razy powinniśmy dysponować papierem o długości:

L = \frac{\Pi \cdot 0,45 mm}{6} \cdot \left( 2^{13} + 4 \right) \left ( 2^{13} -1 \right) \approx 15.818 m \approx 15,8 km

Prawie 16 km papieru toaletowego w rolce? Wow… to dużo. Ale… znaleźli się śmiałkowie, którzy mieli w sobie tyle entuzjazmu aby tego dokonać. Na chwilę obecną rekord w liczbie złożeń “kartki” papieru wynosi 13 razy. Udało się to uczniom z St. Marks School z Massachusetts, którzy pobili wcześniejsze dokonanie Britney Gallivan w 2012 roku. Ach Ci Amerykanie… 🙂

Wydaje się jednak, że ten rekord długo nie pozostanie niezagrożony. Spójrz poniżej jak długiej kartki papieru potrzeba, aby złożyć go 14, 15, …, 25, czy 50 razy:

14 złożeń| 63,3 km papieru
15 złożeń| 253,0 km papieru
25 złożeń| 265 283 939 km papieru
50 złożeń| około 298 683 135 974 678 000 000 000 km papieru

Długość papieru potrzebna do kolejnych złożeń rośnie we wprost niewyobrażalnym tempie…

Z ciekawostek, aby złożyć papier 102 razy, jego długość musiałaby być większa od szerokości całego Wszechświata… A to tylko 102 razy… Pozostawiam Was z tą nieziemską myślą 🙂

Poniżej umieściłem linki, dzięki którym możesz dowiedzieć się więcej na temat, który dzisiaj pokazałem.

Linki do materiałów dla Ciebie

  1. == How many times can you fold a sheet of paper ==
  2. == Księga Rekordów Guinessa – dokładnie opisany rekord Gallivan ==
  3. == Nagranie z bicia rekordu składania 13 razy ==

Na zakończenie…

Mam nadzieję, że zaciekawił Cię ten wpis z serii Matematyka w praktyce. Jeśli jeszcze tego nie zrobiłeś, proszę zapisz się na moją listę mailingową, aby dostawać jak pierwszy informację o nowych wpisach i raz na jakiś czas coś ekstra 🙂 Zapisać możesz się w poniższym formularzu:

Zawsze też możesz napisać bezpośrednio do mnie na adres krzysiek@prostamatematyka.pl.

W wolnej chwili przeczytaj mój wpis “Jak daleko matematyce do Hollywood?” – myślę, że Cię zaciekawi 🙂


Polub nas na:
error

1 komentarz

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *